摘要
在考虑赚钱和投资以减少痛苦的策略时，通常最容易将积累财富用于捐赠视为一个独立问题，与确定捐赠对象分开考虑。然而，在某些情况下，两者之间的相关性不应被忽视，实际上可能让捐赠者从捐赠中获得额外的预期收益。特别是，我考虑了一个人的职业成功与技术进步之间的相关性，以及使用预测市场来实现财务回报与捐赠成本效益之间协方差的预期"免费午餐"作为例子。
请注意，这个讨论可能更具理论意义而非实际意义，尽管在现实生活中可能存在这些想法很重要的例子。
为什么协方差可能很重要
假设你想在t年后将部分财富捐赠给慈善事业。让Xt表示你将捐赠的美元金额，Yt表示那时你捐赠的成本效益，以效用/美元或（减少的痛苦）/美元或（你关心的某个单位）/美元计。假设无论捐赠多少，成本效益都是恒定的。a你做的总体善事是Xt * Yt。
当然，你无法确定Xt和Yt的具体值；相反，你对它们的值有主观概率分布。所以Xt和Yt实际上是随机变量，而你的目标是最大化E[Xt * Yt]，其中E[ ]表示期望值。不难证明
E[Xt * Yt] = E[Xt] * E[Yt] + Cov[Xt, Yt]，
其中Cov[ ]代表协方差。
在大多数情况下，Cov[Xt, Yt]可能接近0。例如，假设你计划在股票市场投资几年后向动物伦理组织捐款。股票市场的回报可能与动物伦理组织通过讲座和视频影响人们的效果几乎没有相关性。
然而，在某些情况下，Cov[Xt, Yt]可能大到值得考虑。
例1：就业市场
假设你想捐款支持一个将解决某些不确定的未来技术发展（如人工智能、纳米技术或生物技术领域）或推测性社会趋势（如"技术奇点"的到来）的事业。如果这项技术或社会趋势实现，你在这个领域的捐款将具有很高的成本效益，但如果没有实现，则几乎毫无用处。你为积累财富而选择的职业道路的预期回报可能取决于上述技术或社会趋势的未来发展，因为这些因素将影响就业市场（如果你的公司从与你希望捐赠的相同技术领域赚钱，还可能影响公司的成功）。
天真地说，人们可能会说："如果社会趋势T发生，我的捐款将比不发生时更具成本效益。我打算把钱用于与T相关的工作。然而，仅仅因为捐赠T有很高的期望值并不意味着T很可能发生。在评估就业市场时，我不应该偏向于认为T比客观上更可能发生。"然而，这种推理忽视了你的职业成功与T之间潜在的协方差收益。在其他条件相同的情况下，一份只有在T发生时才可能支付更高薪酬的工作是更好的选择，因为在这种情况下Cov[Xt, Yt] > 0。
例2：预测市场
假设你想捐款支持人道杀虫剂，以减轻农田上昆虫的预期痛苦。想象一下，一个由国际独立科学家和动物福利主义者组成的机构正在进行一项重大研究，以提供比目前更具结论性的证据，说明昆虫是否能感受痛苦。你计划将钱投资于股票市场，并在研究结果出来后进行捐赠。
假设一个流动性好的预测市场提供关于即将发布的研究是否会对昆虫痛苦说"是"或"否"的投注。b你应该在预测市场上购买"是"的股份，而不是投资股票市场。这样，如果研究得出昆虫确实能感受痛苦的结论（这会增加你对昆虫能够感受痛苦的主观概率，从而增加人道杀虫剂的主观成本效益），你就会有大量资金可以花费；如果研究得出昆虫不能感受痛苦的结论，你的资金损失就不那么严重。
在实践中，至少在美国，使用预测市场可能受到赌博法律限制。尽管如此，像Intrade这样的一些市场确实使用真实货币。其他市场，如bet2give和Long Bets，是合法的，因为赢得的钱会捐给慈善机构；如果你想捐赠的事业本来就是正式的非营利组织，那么赌博限制就不重要了，除了捐款可能不能抵税。
预测市场的一个主要问题——尤其是那些将利润捐给慈善机构的市场——是它们不太可能有足够的流动性来处理原本最佳的股份购买数量。如果你有50万美元要捐给减轻预期的昆虫痛苦，也许你可以与保险公司达成协议，只有在研究结果表明昆虫确实能感受痛苦时，你才能从你的"昆虫痛苦保险"中获得赔付。这种"一杆进洞保险"被X奖基金会用来支付安萨里X奖。
探索创建一个专门为想要利用协方差的捐赠者设计的新预测市场或保险公司的可能性会很有趣。这类人群可能不仅限于功利主义者；大多数捐赠给成本效益与外部事件有实质相关性的项目的捐赠者都应该感兴趣。这样的捐赠者群体有多大？
注释
与可捐赠财富有正协方差的捐赠事业并不自动成为好选择；它只是比具有类似预期成本效益但没有这种协方差的事业更好的选择。比较的标准仍然是所有项目的E[Xt * Yt]。
正如下标t所示，利用协方差需要推迟捐赠到未来，这涉及到现在捐赠而不是以后捐赠的时间价值、等待捐赠获得的智慧、从现在到t年后发生灾难的概率、预期投资回报、预期预测市场证券回报、预期通货膨胀和税收影响等考虑因素。
一个相对简单的比较是：（a）将资金投资到与成本效益无关的资本市场，直到t年后，和（b）将资金投入将在t年后到期的预测市场或赌注。让Xt表示（a）情况下你可捐赠财富的随机变量，X't表示（b）情况下的相同变量。Yt在两种情况下都相同。忽略不同的税收处理，（b）的预期收益除以（a）的预期收益是
E[X't * Yt] / E[Xt * Yt] = ( E[X't]* E[Yt] + Cov[X't, Yt] ) / (E[Xt] * E[Yt] )
= E[X't] / E[Xt] + Cov[X't, Yt] / ( E[Xt] * E[Yt] )。
协方差和"假设行动"
这个协方差想法是关于期望值计算的一般观点的另一种表述方式：当期望值由可能结果的一个分支主导时，你通常应该"假设"那个分支是真实的，因为在那种情况下，对整体期望值的影响最大。
例如，假设你参加一个游戏节目，有两扇门，你只能打开其中一扇。恰好有一扇门后面有1美元。如果1美元在A门后面，你就只能得到这1美元。如果1美元在B门后面，那么游戏主持人会将你的奖金乘以999。1美元在A门和B门后面的概率各为50%。
- 假设你打开A门。如果里面有钱（50%的机会），你得到1美元；如果没有，你得到0美元。期望值是(0.5)($1) + (0.5)($0 * 999) = $0.5。
- 现在假设你打开B门。期望值是(0.5)($0) + (0.5)($1 * 999) = $499.5。
计算结果由B门包含1美元的情况主导，所以你通常应该"假设"B门确实包含1美元。那是你的行动最重要的结果分支。
用协方差来看同样的问题，让X是一个指示变量，表示你选择的门后面是否有钱，而Y代表游戏主持人使用的乘数因子（1或999，取决于钱是在A门还是B门后面）。你的总期望收益是E[X * Y]。无论你选择哪扇门：
E[X] = (0.5)($1) + (0.5)($0) = $0.5，且
E[Y] = (0.5)(1) + (0.5)(999) = 500。
现在，假设你选择A门。那么：
Cov[X,Y] = Prob(A门有$)(X - E[X])(Y - E[Y]) + Prob(B门有$)(X - E[X])(Y - E[Y])
= (0.5)($1 - $0.5)(1 - 500) + (0.5)($0 - $0.5)(999 - 500)
= -$249.5。
这意味着如果你选择A门，
E[X * Y] = E[X] * E[Y] + Cov[X, Y] = ($0.5) * 500 + -$249.5 = $0.5，
就像我们之前计算的那样。接下来，假设你选择B门。现在：
Cov[X,Y] = Prob(A门有$)(X - E[X])(Y - E[Y]) + Prob(B门有$)(X - E[X])(Y - E[Y])
= (0.5)($0 - $0.5)(1 - 500) + (0.5)($1 - $0.5)(999 - 500)
= $249.5
所以如果你选择B门，
E[X * Y] = E[X] * E[Y] + Cov[X, Y] = ($0.5) * 500 + $249.5 = $499.5，
这再次与我们之前看到的完全一致。